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プロジェクト・オイラー(026-030)

[プロジェクト・オイラー]

プロジェクト・オイラー(026-030)

この辺からめっちゃ難しいですね

  Problem 26 「逆数の循環節 その1」

Probem

   単位分数とは分子が1の分数である. 分母が2から10の単位分数を10進数で表記すると次のようになる.
    
   1/2 = 0.5
   1/3 = 0.(3)
   1/4 = 0.25
   1/5 = 0.2
   1/6 = 0.1(6)
   1/7 = 0.(142857)
   1/8 = 0.125
   1/9 = 0.(1)
   1/10 = 0.1
    
   0.1(6)は 0.166666... という数字であり, 1桁の循環節を持つ. 1/7 の循環節は6桁ある.
    
   d < 1000 なる 1/d の中で小数部の循環節が最も長くなるような d を求めよ.

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  Problem 27 「二次式素数」

Probem

   オイラーは以下の二次式を考案している:
    
   n^2 + n + 41.
   この式は, n を0から39までの連続する整数としたときに40個の素数を生成する. 
   しかし, n = 40 のとき 402 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 となり41で割り切れる. また, n = 41 のときは 412 + 41 + 41 であり明らかに41で割り切れる.
    
   計算機を用いて, 二次式 n^2 - 79n + 1601 という式が発見できた. これは n = 0 から 79 の連続する整数で80個の素数を生成する. 係数の積は, -79 × 1601 で -126479である.
    
   さて, |a| < 1000, |b| ≤ 1000 として以下の二次式を考える (ここで |a| は絶対値): 例えば |11| = 11 |-4| = 4である.
    
   n^2 + an + b
   n = 0 から始めて連続する整数で素数を生成したときに最長の長さとなる上の二次式の, 係数 a, b の積を答えよ.

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  Problem 28 「螺旋状に並んだ数の対角線」

Probem

   1から初めて右方向に進み時計回りに数字を増やしていき, 5×5の螺旋が以下のように生成される:
21 22 23 24 25
20 7 8 9 10
19 6 1 2 11
18 5 4 3 12
17 16 15 14 13
   両対角線上の数字の合計は101であることが確かめられる.
   
   1001×1001の螺旋を同じ方法で生成したとき, 対角線上の数字の和はいくつか?

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  Problem 29 「個別のべき乗」

Probem

   2 ≤ a ≤ 5 と 2 ≤ b ≤ 5について, a^b を全て考えてみよう:
    
   2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32
   3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243
   4^2=16, 4^3=64, 4^4=256, 4^5=1024
   5^2=25, 5^3=125, 5^4=625, 5^5=3125
   これらを小さい順に並べ, 同じ数を除いたとすると, 15個の項を得る:
    
   4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125, 243, 256, 625, 1024, 3125
    
   2 ≤ a ≤ 100, 2 ≤ b ≤ 100 で同じことをしたときいくつの異なる項が存在するか?

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  Problem 30 「各桁の5乗」

Probem

    驚くべきことに, 各桁を4乗した数の和が元の数と一致する数は3つしかない.
     
    1634 = 1^4 + 6^4 + 3^4 + 4^4
    8208 = 8^4 + 2^4 + 0^4 + 8^4
    9474 = 9^4 + 4^4 + 7^4 + 4^4
    ただし, 1=1^4は含まないものとする. この数たちの和は 1634 + 8208 + 9474 = 19316 である.
     
    各桁を5乗した数の和が元の数と一致するような数の総和を求めよ.

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